☛ ** Distances dans l'espace

Énoncé

Soit \(\mathrm{ABCDEFGH}\) un cube.
Soit \(\mathrm{I}\) et  \(\mathrm{J}\) les milieux respectifs des segments \(\mathrm{[AB]}\)  et  \(\mathrm{[BC]}\) .
On se place dans le repère orthonormé \(\mathrm{\left(A~;\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE}\right)}\) .

1. Déterminer les coordonnées des points \(\mathrm{I}\) , \(\mathrm{J}\) et \(\mathrm{F}\) .

2. En déduire les coordonnées des vecteurs  \(\mathrm{\overrightarrow{IJ}}\) ,  \(\mathrm{\overrightarrow{FI}}\)  et  \(\mathrm{\overrightarrow{FJ}}\) .

3. Calculer les longueurs \(\mathrm{IJ}\) , \(\mathrm{FI}\) et \(\mathrm{FJ}\) . Quelle est la nature du triangle \(\mathrm{FIJ}\) ?

4. Calculer les coordonnées du point  \(\mathrm{K}\) , milieu du segment \(\mathrm{[IJ]}\) . En déduire l'aire du triangle \(\mathrm{FIJ}\) .

Solution

1.  \(\mathrm{I\left(\dfrac12~;~0~;~0\right)}\) ,  \(\mathrm{J\left(1~;~\dfrac12~;~0\right)}\) ,  \(\mathrm{F(0~;~1~;~1)}\) .

2.  \(\mathrm{\overrightarrow{IJ}}\)  a pour coordonnées  \(\begin{pmatrix} 1-\dfrac12 \\ \dfrac12-0 \\ 0-0 \\\end{pmatrix}\) soit  \(\begin{pmatrix} \dfrac12\\ \dfrac12 \\ 0 \\\end{pmatrix}\) .

De même, on a \(\mathrm{\overrightarrow{FI}}\begin{pmatrix} \dfrac12\\-1\\ -1\\\end{pmatrix}\) et  \(\mathrm{\overrightarrow{FJ}}\begin{pmatrix}1\\-\dfrac12\\ -1\\\end{pmatrix}\) .

3. Le repère est orthonormé. 
  \(\mathrm{IJ=\sqrt{\left(\dfrac12\right)^2+\left(\dfrac12\right)^2+0^2}=\sqrt{\dfrac12}=\dfrac{1}{\sqrt 2}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}}\) .

  \(\mathrm{FI=\sqrt{\left(\dfrac12\right)^2+(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{\dfrac94}=\dfrac{\sqrt 9}{\sqrt 4}=\dfrac{3}{2}}\) .

De même, on trouve  \(\mathrm{FJ=\dfrac32}\) .
Comme  \(\mathrm{FI=FJ}\) , alors le triangle  \(\mathrm{FIJ}\)  est isocèle en \(\mathrm{F}\) .
Comme   \(\mathrm{IJ}^2\neq\mathrm{FI}^2+\mathrm{FJ}^2\) , le triangle  \(\mathrm{FIJ}\) n'est pas rectangle.

4. Soit   \(\mathrm{K}\) , milieu du segment \(\mathrm{[IJ]}\) . Alors  \(\mathrm{K\left(\dfrac{\frac12+1}{2}~;~\dfrac{0+\frac12}{2}~;~\dfrac{0+0}{2}\right)}\) , soit  \(\mathrm{K\left(\dfrac34~;~\dfrac14~;~0\right)}\) .

L'aire  \(\mathscr A\) du triangle \(\mathrm{FIJ}\) étant donnée par  \(\mathrm{\mathscr A = \dfrac12\times IJ\times FK}\) .

Or, d'après la question 3,  \(\mathrm{IJ=\dfrac{\sqrt 2}{2}}\) .
D'autre part,  \(\mathrm{\overrightarrow{FK}}\begin{pmatrix}\dfrac34\\-\dfrac34\\ -1\\\end{pmatrix}\) .
Donc on a :  \(\mathrm{FK=\sqrt{\left(\dfrac34\right)^2+\left(-\dfrac34\right)^2+(-1)^2}=\sqrt{\dfrac{34}{16}}=\sqrt{\dfrac{17}{8}}}\) .

D'où  \(\mathscr A = \dfrac12\times \dfrac{\sqrt 2}{2}\times \sqrt{\dfrac{17}{8}}=\dfrac{\sqrt{17}}{8}\) unités d'aire.