☛ ** Distances dans l'espace

Énoncé

Soit $\mathrm{ABCDEFGH}$ un cube.
Soit $\mathrm{I}$ et  $\mathrm{J}$ les milieux respectifs des segments $[\mathrm{AB}]$  et  $[\mathrm{BC}]$ .
On se place dans le repère orthonormé $(\mathrm{A};\overrightarrow{\mathrm{AB}},\overrightarrow{\mathrm{AD}},\overrightarrow{\mathrm{AE}})$ .

1. Déterminer les coordonnées des points $\mathrm{I}$ , $\mathrm{J}$ et $\mathrm{F}$ .

2. En déduire les coordonnées des vecteurs  $\overrightarrow{\mathrm{IJ}}$ ,  $\overrightarrow{\mathrm{FI}}$  et  $\overrightarrow{\mathrm{FJ}}$ .

3. Calculer les longueurs $\mathrm{IJ}$ , $\mathrm{FI}$ et $\mathrm{FJ}$ . Quelle est la nature du triangle $\mathrm{FIJ}$ ?

4. Calculer les coordonnées du point  $\mathrm{K}$ , milieu du segment $[\mathrm{IJ}]$ . En déduire l'aire du triangle $\mathrm{FIJ}$ .

Solution

1.  $\mathrm{I}({\displaystyle \frac{1}{2}};0;0)$ ,  $\mathrm{J}(1;{\displaystyle \frac{1}{2}};0)$ ,  $\mathrm{F}(0;1;1)$ .

2.  $\overrightarrow{\mathrm{IJ}}$  a pour coordonnées  $\left(\begin{array}{c}1-{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}-0\\ 0-0\end{array}\right)$ soit  $\left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ {\displaystyle \frac{1}{2}}\\ 0\end{array}\right)$ .

De même, on a $\overrightarrow{\mathrm{FI}}\left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ -1\\ -1\end{array}\right)$ et  $\overrightarrow{\mathrm{FJ}}\left(\begin{array}{c}1\\ -{\displaystyle \frac{1}{2}}\\ -1\end{array}\right)$ .

3. Le repère est orthonormé. 
  $\mathrm{IJ}=\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2+{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2+0^2}=\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{2}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$ .

  $\mathrm{FI}=\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)}^2+(-1{)}^2+(-1{)}^2}=\sqrt{{\displaystyle \frac{9}{4}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}}={\displaystyle \frac{3}{2}}$ .

De même, on trouve  $\mathrm{FJ}={\displaystyle \frac{3}{2}}$ .
Comme  $\mathrm{FI}=\mathrm{FJ}$ , alors le triangle  $\mathrm{FIJ}$  est isocèle en $\mathrm{F}$ .
Comme   ${\mathrm{IJ}}^2\ne {\mathrm{FI}}^2+{\mathrm{FJ}}^2$ , le triangle  $\mathrm{FIJ}$ n'est pas rectangle.

4. Soit   $\mathrm{K}$ , milieu du segment $[\mathrm{IJ}]$ . Alors  $\mathrm{K}({\displaystyle \frac{\frac{1}{2}+1}{2}};{\displaystyle \frac{0+\frac{1}{2}}{2}};{\displaystyle \frac{0+0}{2}})$ , soit  $\mathrm{K}({\displaystyle \frac{3}{4}};{\displaystyle \frac{1}{4}};0)$ .

L'aire  $\mathcal{A}$ du triangle $\mathrm{FIJ}$ étant donnée par  $\mathcal{A}={\displaystyle \frac{1}{2}}\times \mathrm{IJ}\times \mathrm{FK}$ .

Or, d'après la question 3,  $\mathrm{IJ}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$ .
D'autre part,  $\overrightarrow{\mathrm{FK}}\left(\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{3}{4}}\\ -{\displaystyle \frac{3}{4}}\\ -1\end{array}\right)$ .
Donc on a :  $\mathrm{FK}=\sqrt{{\left({\displaystyle \frac{3}{4}}\right)}^2+{(-{\displaystyle \frac{3}{4}})}^2+(-1{)}^2}=\sqrt{{\displaystyle \frac{34}{16}}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{17}{8}}}$ .

D'où  $\mathcal{A}={\displaystyle \frac{1}{2}}\times {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\times \sqrt{{\displaystyle \frac{17}{8}}}={\displaystyle \frac{\sqrt{17}}{8}}$ unités d'aire.